MATIMATIKA banyak bilangan 2 (dua) angka atau lebih dan perkalian

PELUANG

29 Des Contoh :
Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A (Adi), B (Banu), C (Candra), D(Doni). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?
Jawab :
Pemenang pertama dan kedua yang mungkin kita susun adalah AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut.

1. Ada empat orang peserta lomba yang semuanya punya kesempatan untuk menjadi juara pertama.
2. Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 orang lagi yang bisa menduduki juara kedua. Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi.

Dari contoh diatas dapat kita peroleh suatu kesimpulan sebagai berikut :
Jika terdapat k buah tepat yang tersedia, dengan :
n₁         = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
n₂         = banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama diisi.
n₃         = banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi dan seterusnya
n_k         = banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-k, setelah tempat tempat sebelumnya terisi.
Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah n₁ x n₂ x n₃ x …..x n_k.
Aturan inilah yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian.
Contoh :
Dari angka angka 2,3,5,6,7 dan 9 akan dibentuk bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan. Tentukan :

1. Banyak bilangan tersebut
2. Banyak bilangan yang lebih kecil dari 400
3. Banyak bilangan yang ganjil
4. Banyak bilangan yang merupakan kelipatan dari 5

Jawab :

Pada tiap masalah kita dapat gambarkan tiga kotak seperti kolom diatas
Untuk mempresentasikan bilangan sembarang dan kemudian tuliskan di dalam masing masing kotak banyaknya cara menempatkan bilangan.

1. 1. Banyak bilangan tersebut yang dapat disusun berdasarkan tiga bilangan berlainan adalah n₁ = 6, karena semua angka dapat keluar untuk menduduki posisi pertama dari susunan tiga bilangan berlainan itu. Kemudian n₂ = 5, karena satu angka sudah menduduki posisi pertama jadi yang tersisa adalah 5 angka lagi dan _tida1k ada syarat angka boleh di ulang. Terakhir n₃ = 4, karena sudah dua angka menduduki posisi pertama dan kedua jadi hanya tersisa 4 angka yang mungkin menduduki posisi ketiga dari susunan bilangan 3 angka berlainan tersebut. Dapat dituliskan dalam kolom seperti berikut :                                                                                                           

            Jadi ada 6 x 5 x 4 = 120 cara  atau susunan 3 bilangan berlainan yang dapat kita buat dari 6 angka tersebut.

1. 2. Untuk n₁ = 2, karena hanya ada 2 angka yang lebih kecil dari 400, n₂ = 5, karena masih ada 5 angka yang boleh mengisi kotak  pertama setelah kotak pertama terisi, n₃ = 4, karena masih 4 angka yang tersisa setelah kotak pertama dan kotak kedua terisi. Jadi kita dapat tuliskan dalam kotak sebagai berikut :      

Maka dapat dihitung ada 2 x 5 x 4 = 40 cara penyusunan tiga angka berlainan yang kurang dari 400.

1. 3. Untuk n₃ = 4, karena bilangan ganjilnya ada sebanyak 4, yaitu : 3,5,7 dan 9 agar terbentuk susunan 3 bilangan ganjil.       Kemudian pada n₁ = 5 dan pada n₂ = 4. Dengan demikian terbentuk susunan sebagai berikut :   

Jadi ada 5 x 4 x 4 = 80 cara penyusunan tiga angka yang bernilai ganjil.

1. 4. Untuk kotak paling kanan dapat kita isi 1, yaitu 3 dan 5, karena bilangan yang yang terjadi merupakan kelipatan dari 5, sedangkan kotak paling kiri dapat diisi angka 5, karena angka yang tersisa ada 5, begitu pula kotak tengah kita isi dengan angka 4. Maka dapat dituis dalam kotak sebagai berikut :   

Jadi ada sebanyak 5 x 4 x 1 = 20 cara untuk menyusun tiga angka tersebut menjadi bilangan kelipatan 5